江苏省锡山高级中学2025-2026学年第一学期12月阶段性检测
高二数学
一、单选题
1. 已知数列 满足a_1=2 ，设甲： ，乙： 为等差数列.则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知 ， ，点D 在平面 内，则 的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A. “π” /6 B. “π” /4 C. D. “π” /2
4. 为坐标原点，椭圆E:x^2/4+y^2=1 的左、右焦点分别为 ， ，A ， ， 在 上， ， 关于点 对称，A ， 关于直线 对称，则四边形 的周长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱AA_1=2 ，D，E分别是CC_1与 的中点，点E在平面ABD上的射影是 的重心G，则 与平面ABD所成角的余弦（ ）
A. B. √7/3 C. D.
6. 已知F为椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)的右焦点，A，B为圆 上两个关于原点对称的点，若 恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 对任意 ，不等式 恒成立，则正数a 的最大值为（ ）
A. B. C. “e” /2 D.
8. 已知数列 满足 ，则（ ）
A. 当 时，存在 使得a_n≥1
B. 当r=3 时，存在 使得
C. 当r=3 时，存在正整数 ，当 时，
D. 当 时，存在正整数 ，当 时，
二、多选题
9. 如图， 是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到 ，再连接 的各边中点得到 ，…，如此继续下去，设 的边长为a_n， 的面积为M_n，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. f(x) 是奇函数 B.
C. f(x) 最小正周期为 D. f(x) 的最大值为(2√3)/3
11. 已知抛物线 的焦点为 ，若C 上存在 个互不重合的点 ， ， ，⋯ ，P_n满足 ，下列结论中正确的有（ ）
A. 若 ，则 的最小值为4
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 的最小值为16
三、填空题
12. 已知数列 满足 且a_1=2 ，则 _____．
13. 已知正三棱锥P-ABC ，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足 ，则 的取值范围是_______．
14. 若 时， ，则实数 的最大值为_____.
四、解答题
15. 已知等差数列 满足 ，数列 满足b_1=1 ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意 恒成立，去实数 的取值范围．
16. 已知椭圆C ：x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 .过点 的直线 与椭圆交于 两点.当 轴时， .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设 ，当 面积为 时，求直线 的方程.
17. 如图，四棱锥P-ABCD 中，四边形 为直角梯形，平面 平面 ． ．
（1）求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值；
（2）若点 在PB 上，且 ．
（i）当 时，求 到平面 的距离：
（ii）是否存在λ ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，请求出λ 的值；若不存在，请说明理由．
18. 已知函数f(x)=k/”e” ^x -“ln” x .
（1）若k=-“e” ，证明：f^’ (x)≤0 ；
（2）令F(x)=f(x)+”ln” x-2″cos” x ，若函数 在区间 上恰有一个零点，求k的取值范围；
（3）若0<x_1<x_2，证明：1/”e” ^(x_1-1) -1/”e” ^(x_2-1) <x_2/x_1 -1 .
