江苏省宜兴中学2025-2026学年第一学期高二数学12月阶段检测
一、单选题
1. 已知等差数列 的前 项和为 且 则 的最大值为（ ）
A. B. 92
C. 91 D. 90
2. 在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点 为曲线 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A. B. 6 C. D. 9
4. 已知椭圆 与双曲线 有相同的左、右焦点 ， ，若点P是 与 在第一象限内的交点，且 ，设 与 的离心率分别为 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若平面 经过点 ，且以 （ 不同时为0）为法向量，则平面 的方程可表示为： ．已知平面 的方程为 ，直线 是平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列 的前 项和 ，记 的前 项和为 ，则数列 中的最大项的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 是双曲线 的右焦点，过原点的直线 交双曲线右支于点 ，左支于点 ，连接 并延长交双曲线 于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若存在 ，使得关于 的不等式 成立，则实数 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
二、多选题
9. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则（ ）
A. 当 时， B. 在区间 上单调递减
C. 当且仅当 D. 轴是曲线 的一条切线
10. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 的焦点为 ， ， ， 为抛物线 上的任意三点(异于 点)， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 设 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则
B.
C. 若 ，则
D. 若直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，则
11. 已知正方体 棱长为 ，点 满足 ， 为 中点，则下列论述正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则直线 平面
C. 若 ，则点 到平面 的距离为
D. 若 ，则平面 与平面 所成角的取值范围为
三、填空题
12. 已知函数 ，若 在区间 上的最小值为 ，则 在该区间上的最大值为______.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为 上在第一象限内的一点，过原点 作 的平行线，分别与 的平分线交于点 ，若 ，则 _____.
14. 数列 的前 项和为 ，且 ，且 ，则 __________．
四、解答题
15. 数列 中， ， ， .
（1）证明： 是等差数列；
（2）设 ，求 .
16. 已知抛物线 ，过 的焦点 作直线交 于 两点，直线 （ 为 的顶点）交 的准线 于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的最小值.
17. 如图，等腰直角三角形 中， ，D是 中点，E、F分别是 、 边上的动点，且 ， ，将 沿 折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥 ．设 ， ， ．
（1）试用 表示 ．
（2）若 时， 平面 ．求与 垂直的平面 和平面 所成角的余弦值；
（3）当 时，是否存在这样的点F，使得二面角 为 ，且直线 与平面 所成角为 ，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由．
18. 已知椭圆 .定义第 次操作为：经过 上的点 作斜率为 的直线与 交于另一点 ，记 关于 轴的对称点为 ，若 与 重合，则操作停止；否则一直继续下去.
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，点 是椭圆 上一点，且位于 轴的上方， 是椭圆 的两个焦点， 是等腰三角形，求点 的坐标；
（3）若 是 在第一象限与 不重合的一点，求证： 的面积为定值，并求出该定值.
