南京市第二十九中学高二10月检测数学
一、选择题
1. 已知椭圆 上一点 到椭圆的一个焦点的距离为3，则 到另一个焦点的距离为（ ）
A 7 B. 5 C. 3 D. 2
2 已知直线 与 垂直，则实数 （ ）
A. 3 B. -3 C. 2 D. 1
3. 已知 ，且 ， 为虚数单位，则 的最大值是（ ）
A B. C. 2 D.
4. 若椭圆 的长半轴长等于其焦距，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在梯形ABCD中， ，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
8. 若过圆 内不同于圆心 点 恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点 构成的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ）
价格（千元） （0，5] （5，10] （10，15] （15，20]
频数 150 600 180 50 20
A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5
B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数超过8
C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6
D. 估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过10
10. 已知直线 ，圆 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 直线l与圆C恒有两个公共点
C. 直线l与圆C的相交弦长的最大值为
D. 当 时，圆C与圆 关于直线l对称
11. 对于非零向量 ，定义变换 以得到一个新的向量.现对于非零向量 与 ，作如上变换，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在单位向量 ，使得
B. 对任意 、 ， 恒成立
C. 若 ，则 的最大值为
D. ，则
三、填空题
12. 已知 ，则 ________．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴上运动，点 在 轴上运动，点 在线段 的延长线上，且 ， ，则点 的轨迹方程为______．
14. 已知椭圆 的上顶点为 ，两个焦点为 ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 两点， ，则 的周长是___________．
四、解答题
15. 已知 三个顶点分别为 ， ， .
（1）求 边上的高线长；
（2）过 内一点 有一条直线 与边 ， 分别交于点 ， ，且点 平分线段 ，求直线 的方程.
16. 在三棱柱 中， ，且 为 的中点， 为 的中点．
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值
17. 设圆满足：①截 轴所得弦长为2；②被 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 ，假设圆心为 ，其坐标 ．
（1）请求出 之间满足的等量关系；
（2）在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线 的距离最小的圆的方程．
18. 已知椭圆 过 ， 两点，直线 过点 ，且交椭圆 于 ， 两点，交 轴于点 ， ， ．记 的面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）证明： 为定值．
（3）求 取值范围．
