无锡市青山高级中学
2025年秋学期高二数学期中考试试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C ， ， D. ， ，
3. 圆 ： 与圆 ： 的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
4. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥 是阳马， 平面 ，且 ，若 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 点 到直线 （ 为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A. B. 4 C. 5 D. 25
7. 已知 ： ，直线l： ，P为l上的动点，过点P作 的切线 ，切点为A、B，当 弦长最小时，则直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体 的棱长为 是侧面 上的动点（含端点），且满足 ，则 点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有项选错得0分.
9. 以下四个命题表述正确的有（ ）
A. 直线 恒过定点
B. 若直线 与 互相垂直，则实数
C. 已知直线 与 平行，则
D. 过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 或
10. 在空间直角坐标系 中，下列说法不正确 有（ ）
A. 与点 关于 轴对称的点的坐标为
B. 若 是空间向量的一组基底， ，则 也是空间向量一组基底
C. 已知 ，则 在 上的投影向量的坐标为
D. 已知 ，平面 的法向量为 ，则
11. “太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形 ，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（ ）
A. 黑色阴影区域在 轴右侧部分 边界所在圆的方程为
B. 直线 与白色部分有公共点
C. 点 是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则 最大值为4
D. 过点 作互相垂直的直线 、 ，其中 与圆 交于点 、 ， 与圆 交于点 、 ，则四边形 面积的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若椭圆 上一点 到焦点 的距离为6，则点 到另一个焦点 的距离______．
13. 若圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值范围是________．
14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记 ，则当 的长最小时，异面直线 与 所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间向量 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的最小值及此时 的值.
16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式.
（1）光线自点 射到 轴上的点 后被 轴反射，求反射光线 所在直线的方程：
（2）直线 经过点 ，且直线 与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4.
