2025~2026学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过 ， 两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆的一条直径的端点分别是 、 ，则该圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 的一部分，且此双曲线的一条渐近线为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如果实数 、 满足 ，那么 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6. 直线 ： 与 ： 上各有一动点 、 ，那么 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 的顶点 和 ，顶点 在椭圆 上，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，且满足 .若椭圆的离心率为 ，则 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线 恒过定点
B. 若直线 ： 与 ： 互相垂直，则实数
C. 已知直线 ： 与 ： 平行，则 或0
D. 过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为
10. 已知椭圆 ： ，则（ ）
A. 的长轴长为8
B. 的焦点坐标为
C. 的离心率为
D. 上的点到焦点的最小距离为2
11. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 经过 ， 两点，则（ ）
A. 双曲线 的离心率为
B. 双曲线 的渐近线方程为
C. 直线 与双曲线 的左支和右支各有一个交点
D. 过点 可以作四条直线与双曲线 只有一个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14题第一空2分，第二空3分，共15分.
12. 椭圆 的离心率为 ，则 ______.
13. 圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为______.
14. 动点 分别与两定点 ， 连线的斜率的乘积为 ，则点 的轨迹方程为______，已知 ， ，则 的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的三个顶点是 、 、 .
（1）求边 上的中线 所在直线方程；
（2）求边 上的高 所在直线方程.
16. 已知圆经过 和 两点，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）若过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
17. 已知圆 的圆心 是抛物线 的焦点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若直线 交抛物线 于 ， 两点，且点 是弦 的中点，求直线 的方程.
18. 已知双曲线 ： 的焦距为 ，且左右顶点分别为 , ，过点 的直线 与双曲线 的右支交于 , 两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线 的斜率为1，求弦长 ；
（3）记直线 , 的斜率分别为 , ,证明： 是定值.
19. 如图，已知椭圆 的左，右顶点分别为 ， ，椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为 ， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 ， 与椭圆分别交于点 ， ，其中 ，
