江苏省启东中学2025-2026学年度高二创新班第一学期期中考试(数学)
考查内容：空间向量与立体几何（重点：向量法、二面角、线面关系）、函数与导数（重点：极值、单调性、不等式）、数列（重点：等差、等比、递推与求和）、平面解析几何（重点：圆锥曲线与圆的综合）、几何与代数综合（体现数形结合能力）、不等式与最值
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知⃗u=(4,x-1,x+1)是直线l的方向向量，⃗v=(1,2,3)是平面α的法向量，若l//α，则x=
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
2.已知函数f(x)=x^3+x-f'(1)lnx，则f'(1)=( )
A. 4 B. 5/2 C. 2 D. 3/2
3.已知等差数列{a_n }满足：a_3+a_6+a_9+⋯+a_3n=3/4 n(n+1)(n∈N_+ )，则{a_n }的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 1/3 D. 1/2
4.已知直线l:x+(1+a)y=2-a和m:ax+2y=-8，若l//m，则a=
A. -2 B. 1 C. 0或1 D. 1或-2
5.已知a=1+1/(e+1),b=ln3+ 1/4,c=ln4+ 1/5，则a,b,c的大小关系为( )
A. a>b>c B. b>c>a C. c>b>a D. b>a>c
6.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0)，B(2,0)，动点C和D分别位于y正半轴和负半轴上，若|OC|⋅|OD|=1，则AC和BD的交点M的轨迹方程为( )
A. |x|+|y|=4(y≠0) B. x^2+y^2=4(y≠0)
C. x^2/4+y^2=1(y≠0) D. x^2/4-y^2=1(y≠0)
7.如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成〖60〗^∘的二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，则折纸后∠EOF的余弦值为
A. -√( &3)/2 B. -1/2 C. -1/4 D. -1/8
8.已知椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)与双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1的离心率分别为e_1，e_2，若e_1 e_2=4/5，则双曲线的渐近线方程为
A. y=±4/5 x B. y=±√( &5)/2 x C. y=±√( &15)/3 x D. y=±√( &15)/5 x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设曲线C:x^2+y^2 sinα=1，α∈(-π/2,π/2)，则下列说法正确的是
A. 若α∈(-π/2,0)， C表示双曲线，其焦点在 x轴上
B. 当α∈(0,π/2)时， C表示椭圆，其焦点在 x轴上
C. 任意α∈(-π/2,π/2)， C与圆x^2+y^2=1有公共点
D. 存在α∈(-π/2,0)，则 C的离心率小于√( &2)
10.在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别是棱AD，CD的中点，则
A. ⃗MN，⃗AB，⃗BC共面 B. ⃗AD是平面 BCM的一个法向量
C. N到平面 BCM的距离为√( &3)/4 D. 直线 AN和 BM夹角的余弦值为1/6
11.如图，曲线y^2=x(y≥0)上的点A_i与x轴非负半轴上的点B_(i-1)，B_i (i=1,2,⋯,n)构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为△B_0 A_1 B_1，△B_1 A_2 B_2，…，△B_(n-1) A_n B_n (B_0为坐标原点).设△B_(n-1) A_n B_n的斜边长为a_n，点B_n (b_n,0)，△B_(n-1) A_n B_n的面积为S_n (n∈N^*)，则下列说法中正确的是( )
A. 数列{a_n }的通项公式a_n=2n B. 数列{b_n }的通项公式b_n=n^2+1
C. S_1+S_2+S_3+⋯+S_10=385 D. 1/S_1 +1/S_2 +⋯+1/S_n <2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x=0是函数f(x)=x^2 (x-a)的极大值点，那么a的取值范围是 .
