常州市第一中学2025-2026学年第一学期阶段调研高二数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题（每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在 中， 为 中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 已知一个正四棱台的上下底面边长为 、 ，侧棱长为 ，则棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 的内角 所对的边分别是 ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
8. 已知函数 ，若方程 恰有2个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得满分，部分选对得部分分）
9. 已知复数 ，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 已知 的内角 的对边分别为 ，以下判断正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 是钝角三角形
C. 若 ，则符合条件的 有两个
D. 若 ，则 为等腰直角三角形
11. 如图所示，在正方体 中，点 是棱 上 一个动点（不包括端点），平面 交棱 于点 ，则下列命题中正确的是（ ）
A. 不存在点 ，使得 为直角
B. 对于任意点 ，都有直线 平面
C. 对于任意点 ，都有平面 平面
D. 三棱锥 的体积为定值
二、填空题（共3小题，每小题5分）
12. 若函数 图象不经过第一象限，则实数 的取值范围是______．
13. 已知一组数据 的平均数为 ，标准差为 ，则数据 的方差为___________
14. 设O， 分别为 的外心和垂心， ， ， ， ，则 ___________．
三、解答题（共5小题，总分77分）
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 .
16. 已知函数 是定义在 上 奇函数，且当 时， .
（1）求函数 在 上的解析式
（2）判断函数 在 上的单调性，并用单调性的结论求解：若对任意实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
17. 一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”．
（1）分别求事件 、 、 发生的概率；
（2）求事件A、B、C中至多有一个发生的概率．
18. 如图，三棱锥 各棱长均为1，侧棱上的 ， ， 满足 ， ，线段 上的点G满足 平面 ，点 在 上， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的值.
