泰州市2024届高三下学期四模考试
数学
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题”∃x>0,x^2+x-1>0”的否定是
A．∀x>0,x^2+x-1>0 B．∀x>0,x^2+x-1≤0 C．∃x≤0,x^2+x-1>0 D．∃x≤0,x^2+x-1≤0
2．已知i为虚数单位，((1+i) ^3)/((1-i) ^2 )=
A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i
3．函数f(x)=√(ln(1-x) )的定义域为
A．(-∞,0] B．(-∞,1) C．[0,1) D．[0,+∞)
4．已知向量a ⃗=(1,-√3)，向量b ⃗在a ⃗上的投影向量为-1/2 a ⃗，则a ⃗⋅b ⃗=
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．已知a=log_3 2，b=log_4 3，c=2/3，则
A．a<b0)的焦点为F，点P(m,-2√2)在C上.若以P为圆心，PF为半径的圆被y轴截得的弦长为2√5，则该圆的面积为
A．4π B．6π C．9π D．10π
7．已知等差数列{a_n}的公差大于0且a_1+a_6=4a_2，若〖∑┴24〗┬(k=1) 1/(√(a_(k+1) )+√(a_k ))=6，则a_5=
A．13/4 B．9/4 C．7/4 D．5/4
8．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a/cosA+b/cosB=3c/cosC，则tanA+tanC的最小值是
A．4/3 B．8/3 C．2√3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线m和平面α,β，则下列命题中正确的有
A．若α//β,m⊥α，则m⊥β B．若α⊥β,m⊥α，则m//β
C．若m⊥α,m//β，则α⊥β D．若m//α,m//β，则α//β
10．定义在R上的函数f(x)满足f(xy+1)=f(x)f(y)+f(y)+x，则
A．f(0)=0 B．f(1)=0 C．f(x+1)为奇函数 D．f(x)单调递增
11．已知椭圆C:(x^2)/(a^2 )+(y^2)/(b^2 )=1(a>b>0)经过点P(√2,1)，且离心率为√2/2.记C在P处的切线为l，平行于OP的直线l^’与C交于A,B两点，则
A．C的方程(x^2)/4+(y^2)/2=1 B．直线OP与l的斜率之积为-1
C．直线OP，l与坐标轴围成的三角形是等腰三角形 D．直线PA,PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若(∛x+2/√x)^n (n∈N^* )的展开式中存在常数项，则n的值可以是 （写出一个值即可）
13．已知正方体ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1的棱长为3，则以A为球心，√21为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为 .
14．数列{a_n}满足a_(n+1)=e^(a_n-2) (n∈N^* )，a_2+a_3=3x_0，其中x_0为函数y=e^(x-2)-x^2 (x>1)的极值点，则a_1+a_2-a_3= .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中A型机床2台，B型机床1台.A型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2.
（1）记X为每天发生故障的机床数，求X的分布列及期望E(x)；
（2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修.求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率.
16．（15分）如图，在直三棱柱ABC-AB_1 C_1中，D是棱BC上一点（点D与点C不重合），且AD⊥DC，过A_1作平面BCC_1 B_1的垂线l.
（1）证明：l//AD；
（2）若AC=CC_1=2，当三棱锥C_1-ACD的体积最大时，求AC与平面ADC_1所成角的正弦值.
17．（15分）函数f(x)=e^λx-4sinx+λ-2的图象在x=0处的切线为y=ax-a-3，a∈R.
（1）求λ的值；
（2）求f(x)在(0,+∞)上零点的个数.
